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      [注意]2013年高考理科數學試題(新課標全國卷Ⅰ)         
      2013年高考理科數學試題(新課標全國卷Ⅰ)
      作者:溫日明 文章來源:本站原創 點擊數: 更新時間:2015/6/10 16:30:59

      2013年高考理科數學試題(新課標全國卷Ⅰ)

      .解答題:解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。

      17、(本小題滿分12分)如圖,在△ABC中,∠ABC90°AB=BC=1P為△ABC內一點,

      BPC90°

      (1)PB=,求PA

      (2)APB150°,求tanPBA

       

       

       

       

      18、(本小題滿分12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CBAB=AA1∠BAA1=60°.

      )證明ABA1C;

      )若平面ABC⊥平面AA1B1BAB=CB=2,求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值。

       

       

       

       

       

      19、(本小題滿分12分)一批產品需要進行質量檢驗,檢驗方案是:先從這批產品中任取4件作檢驗,這4件產品中優質品的件數記為n.如果n=3,再從這批產品中任取4件作檢驗,若都為優質品,則這批產品通過檢驗;如果n=4,再從這批產品中任取1件作檢驗,若為優質品,則這批產品通過檢驗;其他情況下,這批產品都不能通過檢驗。假設這批產品的優質品率為50%,即取出的產品是優質品的概率都為50%,且各件產品是否為優質品相互獨立.

      1)求這批產品通過檢驗的概率;

      2)已知每件產品檢驗費用為100元,凡抽取的每件產品都需要檢驗,對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X(單位:元),求X的分布列及數學期望。

       

       

       

       

       20(本小題滿分12)已知圓 : , : ,動圓 外切并且與圓 內切,圓心 的軌跡為曲線 C.
         
      )求C的方程;

         
      是與圓 , 都相切的一條直線, 與曲線C交于AB兩點,當圓P的半徑最長時,求|AB|.

      21(本小題滿分共12分)已知函數 ,若曲線 曲線 都過點P(02),且在點P處有相同的切線

      )求 的值

      )若 ≥-2時, ,求 的取值范圍。

       

       

       

       

       

       

       

       

      請考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答。注意:只能做所選定的題目。如果多做,則按所做的第一個題目計分,作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的 方框涂黑。

      22、(本小題滿分10分)選修41:幾何證明選講  題目略

       

      23、(本小題10分)選修44:坐標系與參數方程 

       已知曲線C1的參數方程為 ( 為參數),以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為

      )把C1的參數方程化為極坐標方程;

      )求C1C2交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π)。

       

       

       

       

      24、(本小題滿分10分)選修45:不等式選講

      已知函數 = , = .

      )當 =2時,求不等式 的解集;

      )設 -1,且當 [ )時, , 的取值范圍.

       

      2013年高考理科數學試題(新課標全國卷Ⅰ)答案

      17.【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC= ,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得 = = ,∴PA=

      (Ⅱ)設∠PBA= ,由已知得,PB= ,在△PBA中,由正弦定理得, ,化簡得, ,∴ = ,∴ = .

      18.【解析】(Ⅰ)取AB中點E,連結CE

      AB= = ,∴ 是正三角形,

      AB,∵CA=CB,∴CEAB, =E,∴AB⊥面   AB ;…6

      (Ⅱ)由(Ⅰ)知ECAB AB

      又∵面ABC⊥面 ,面ABC∩面 =AB,∴EC⊥面 ,∴EC

      EAEC 兩兩相互垂直,以E為坐標原點, 的方向為 軸正方向,| |為單位長度,建立如圖所示空間直角坐標系 ,有題設知A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B(1,0,0), =1,0 , = =(1,0, ), =(0, , ),  ……9

      = 是平面 的法向量,則 ,即

      可取 = 1-1),∴ =

      直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值為 .       ……12

      19.【解析】設第一次取出的4件產品中恰有3件優質品為事件A,第一次取出的4件產品中全為優質品為事件B,第二次取出的4件產品都是優質品為事件C,第二次取出的1件產品是優質品為事件D,這批產品通過檢驗為事件E,根據題意有E=(AB)(CD),ABCD互斥,

      P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= + = .6

      (Ⅱ)X的可能取值為400,500,800,并且

      P(X=400)=1- = P(X=500)= P(X=800)= =

      X的分布列為

      X

      400

      500

      800

      P

                                                            ……10

      EX=400× +500× +800× =506.25                  ……12

      20.【解析】由已知得圓 的圓心為 -10,半徑 =1,圓 的圓心為 (1,0),半徑 =3.

      設動圓 的圓心為 ),半徑為R.

      (Ⅰ)∵圓 與圓 外切且與圓 內切,∴|PM|+|PN|= = =4

      由橢圓的定義可知,曲線C是以MN為左右焦點,場半軸長為2,短半軸長為 的橢圓(左頂點除外),其方程為 .

      (Ⅱ)對于曲線C上任意一點 ),由于|PM|-|PN|= 2,∴R2,

      當且僅當圓P的圓心為(20)時,R=2.

      ∴當圓P的半徑最長時,其方程為

      的傾斜角為 時,則 軸重合,可得|AB|= .

      的傾斜角不為 時,由 R 不平行 軸,設 軸的交點為Q,則 = ,可求得Q-40),∴設 ,由 于圓M相切得 ,解得 .

      = 時,將 代入 并整理得 ,解得 = ,∴|AB|= = .

      = 時,由圖形的對稱性可知|AB|=

      綜上,|AB|= |AB|= .

      21【解析】(Ⅰ)由已知得

      = = ,∴ =4 =2 =2 =2;……4

      (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

      設函數 = = ),

      = =

      有題設可得 0,即

      =0得, = =2

      1)若 ,則-2 0,∴當 時, 0,當 時, 0,即 單調遞減,在 單調遞增,故 = 取最小值 ,而 = = 0

      ∴當 ≥-2時, 0,即 恒成立,

      (2) ,則 =

      ∴當 ≥-2時, 0,∴ (2,+)單調遞增,而 =0

      ∴當 ≥-2時, 0,即 恒成立,

      (3) ,則 = = 0

      ∴當 ≥-2時, 不可能恒成立,

      綜上所述, 的取值范圍為[1, ].

       23.【解析】將 消去參數 ,化為普通方程

      ,將 代入 得,

      的極坐標方程為

      的普通方程為

      解得 ,∴ 的交點的極坐標分別為( ), .

      24.【解析】當 =-2時,不等式 化為

      設函數 = =

      其圖像如圖所示,從圖像可知,當且僅當 時, 0,∴原不等式解集是 .

      )當 [ )時, = ,不等式 化為

      [ )都成立,故 ,即

      的取值范圍為(-1 ].

       

       

       

      文章錄入:溫日明    責任編輯:溫日明 
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